Shoot for the Stats

La finitezza nella rappresentazione dei numeri reali all’interno di un computer può portare a diversi tipi di errori. Da una parte, la limitazione nella dimensione dei numeri può comportare errori quali overflow e underflow, ovvero quando il numero eccede il limite massimo o il limite minimo di rappresentazione della variabile in cui viene salvato (la dimensione delle diverse variabili numeriche è descritta meglio nell’articolo sulla rappresentazione dei tipi Float e Integer).

Altri possibili errori sono legati alla precisione finita dei tipi Float, che può generare errori quali: roundoff error; loss of significance (perdita di significatività) e catastrophic cancellation (cancellazione catastrofica).

Il roundoff error è dovuto alla rappresentazione di un numero reale usando un numero finito di cifre. Naturalmente più un numero è preciso e minore sarà questo errore. Questo errore è presente anche quando si cerca di esprimere numeri in base 10, poiché il computer utilizza la codifica in base 2. Questo problema può diventare particolarmente rilevante nell’ambito finanziario, in quanto, nonostante l’errore di approssimazione di questo tipo sia pressoché irrilevante se considerato singolarmente, la mole enorme di transazioni che vengono registrate può portare ad un accumulo di questi errori e stravolgendo il risultato. Per questo motivo è stato introdotto il tipo decimal, che permette la codifica dei numeri in base 10 e, quindi, una scrittura esatta dei valori delle transazioni.

La loss of significance, invece, è un errore che abbiamo quando occorre sommare (o sottrarre) due numeri molto differenti tra loro. Ad esempio, potrebbe essere necessario sommare un numero molto grande, che quindi sacrifica la precisione per aumentare la dimensione del numero, ed uno molto piccolo ma con un’alta precisione. La somma di questi numeri dovrebbe produrre un numero con sia un valore molto grande, che un’alta precisione. Tuttavia, la memoria finita comporta che il computer dovrà dedicare la maggior parte della memoria alle cifre del numero più grande, sacrificando quindi la precisione dovuta al numero più piccolo.

Infine, la catastrophic cancellation avviene quando un’operazione su due numeri comporta un aumento dell’errore relativo notevolmente più di quanto aumenti l’errore assoluto. Ad esempio, quando si sottraggono due numeri praticamente identici (ovvero che differiscono per le ultime cifre decimali), può comportare una diminuzione inaccettabile delle cifre significative. Vediamo un esempio nel dettaglio.

Consideriamo il numero:

x = 0.1234567891234567890

Se vogliamo rappresentarlo nel computer con un float con 10 cifre dopo la virgola, avremmo:

xFloat = 0.1234567891

L’errore relativo in questa approssimazione è tutto sommato irrilevante, quindi possiamo considerare questa come una buona approssimazione.

Tuttavia, se eseguiamo l’operazione:

y = 0.1234567890000000000
x-y = 0.1234567891234567890 - 0.1234567890000000000

Otteniamo come risultato:

0.0000000001234567890

Se invece operassimo questa operazione nel computer, utilizzando l’approssimazione a 10 cifre decimale proposta prima, otterremmo come risultato:

0.1234567891 − 0.1234567890 = 0.0000000001

L’errore relativo in questo caso è decisamente elevato e la perdita di cifre significative diventa molto più importante e dannosa.