Definizione differenziale del processo di Wiener

matteos43

In matematica, un processo di Wiener, conosciuto anche come moto browniano, è un processo stocastico gaussiano in tempo continuo con incrementi indipendenti, usato per modellizzare il moto browniano stesso e diversi fenomeni casuali osservati nell’ambito della matematica applicata, della finanza e della fisica. In matematica applicata, il processo di Wiener è usato per rappresentare l’integrale del rumore bianco gaussiano; ed è molto utile come modello del rumore in ingegneria elettronica, nella teoria dei filtri e per rappresentare gli ingressi sconosciuti nella teoria dei controlli.

Prendendo in considerazione il processo di Wiener standard W_t, esso è caratterizzato dalle seguenti condizioni:

  • W_0 = 0;
  • le traiettorie descritte sono continue quasi certamente;
  • il processo è definito ad incrementi indipendenti, ovvero considerando una successione non decrescente di tempi 0 \leq t_1 \leq ... \leq t_n allora le variabili aleatorie definite come W_{t_k} - W_{t_{k-1}} sono tra loro indipendenti;
  • il processo ha incrementi gaussiani, ovvero dati due tempi s \leq t allora W_t - W_s \approx N(0, (t-s)).

Da questa prima definizione, è possibile poi ottenere il processo di Wiener generalizzato, in cui gli incrementi non sono più distribuiti come una normale N(0, (t-s)), ma sono distribuiti secondo una normale di media \mu e varianza scalata per un fattore \sigma^2)..

In questo contesto, prendendo in considerazione dei prezzi, è possibile generalizzare gli incrementi relativi ad un processo di Wiener standard con la seguente formula

P_{t + \delta t} = P_t + I_t

dove I_t è distribuito come una normale N(0, \delta t).

Con una formula molto è possibile rappresentare gli incrementi derivanti da un processo di Wiener generalizzato, dove gli incrementi sono appunto distribuiti come una normale N(\mu, \sigma^2 \delta t), rappresentandoli attraverso opportune trasformazioni di incrementi distribuiti secondo una normale N(0, \delta t):

P_{t + \delta t} = P_t + \mu \delta t + \sigma \sqrt{\delta t} I_t .

Questi incrementi, dato che nel moto Browniano sono variabili assolutamente continue, possono essere rappresentati anche attraverso equazioni differenziali, con incrementi infinitesimali. Queste equazioni prendono il nome di Stochastic Differential Equations (SDE). Le formule per il processo di Wiener standard e per il processo di Wiener generalizzato sono, rispettivamente:

dP_{t} = \sqrt{dt} I_t = dW_t P_{t} =\mu dt + \sigma \sqrt{dt} I_t

dove dW_t è detto incremento di Wiener.

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