Il processo di Poisson

matteos43

Il processo di Poisson è un processo stocastico che simula il manifestarsi di eventi che siano indipendenti l’uno dall’altro e che accadano continuamente nel tempo. Si tratta quindi di un processo a tempo continuo, ma definito su uno spazio discreto ed è il processo più utilizzato per processi di conteggio. Viene utilizzato sopratutto per scenari in cui è necessario contare degli eventi che occorrono con una certa frequenza e in modo completamente randomico (la distribuzione di Poisson che, come si può intuire dal nome, è alla base del processo di Poisson, è non a caso anche chiamata legge degli eventi rari). Alcuni esempi pratici di scenari modellabili attraverso un processo di Poisson o sue trasformazioni sono:

  • il numero di incidenti stradali in una data area geografica;
  • la posizione degli utenti connessi in una rete wireless;
  • la richiesta dei singoli documenti in un web server;
  • lo scoppio di guerre;
  • l’avvenimento di terremoti.

Il processo di Poisson soddisfa le seguenti proprietà:

  • N_0 = 0, ovvero il numero di eventi osservati al tempo 0 deve essere pari a 0 (parte dall’origine);
  • la probabilità che avvenga un evento in un intervallo di tempo infinitesimale è proporzionale alla lunghezza stessa dell’intervallo, ovvero P(N_{t+ dt} - N_t = 1) = \lambda dt + o(dt);
  • la probabilità che non avvenga nessun evento in un intervallo di tempo infinitesimale è proporzionale alla lunghezza stessa dell’intervallo, ovvero P(N_{t+ dt} - N_t = 0) = 1 - \lambda dt + o(dt);
  • la probabilità che avvenga più di un evento in un intervallo di tempo infinitesimale è trascurabile, ovvero P(N_{t+ dt} - N_t > 1) = o(dt);
  • il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ovvero le variabili aleatorie (N_{t_k} - N_{t_{k-1}}) ... (N_{t_1} - N_{t_0}) sono indipendenti per ogni t_0 = 0 < t_1 <...< t_k.

Il legame di questo processo con la distribuzione di Poisson lo si invece se si considera la generica soluzione della probabilità che, ad un determinato tempo t, siano stati osservati k eventi, che risulta essere pari a:

\mathrm{Pr}(N_t = k) = p_k(t) = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{k!}

che è esattamente pari alla funzione di densità della distribuzione di Poisson di parametro \lambda t per k eventi.

La distribuzione di Poisson gode di alcune importanti proprietà. Ad esempio, la distribuzione di Poisson di parametro \lambda si può ottenere come limite per n\rightarrow \infty di una distribuzione binomiale. Fissiamo \lambda = np. La distribuzione binomiale di parametri n e p, dove n è il numero di prove effettuate e p è la probabilità di successo, ha legge di probabilità:

P(k) = {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k}

da cui, possiamo ottenere:

P(k) = {n\choose k} \frac{\lambda}{n}^k (1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}

Si può dimostrare facilmente, sviluppando il fattoriale, che questa equivale a:

P(k) = \frac{n \cdot ... \cdot (n-k+1)}{n^k}\frac{\lambda^k}{k!} \frac{(1-\frac{\lambda}{n})^{n}}{(1-\frac{\lambda}{n})^{k}}

Come è noto, (1-\frac{\lambda}{n})^{n} = e^{-k} per n\rightarrow \infty, perciò è dimostrato il limite.

Un’altra distribuzione legata a quella di Poisson è la distribuzione binomiale negativa. Questa infatti è la legge di distribuzione che regola i tempi di attesa tra due eventi successivi in un processo di Poisson. In particolare, in un processo di Poisson di parametro \lambda il tempo di attesa tra due eventi successivi sarà distribuito proprio come una binomiale negativa di parametro \lambda.

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