Shoot for the Stats

Un moto Browniano geometrico (anche conosciuto come moto Browniano esponenziale), è un processo stocastico ad indice continuo.La particolarità di questo processo è che il logaritmo degli incrementi si comportano come un moto Browniano standard.

Questo processo è stato teorizzato per sopperire ai limiti del moto Browniano aritmetico, che procede per incrementi additivi. Questo, in uno scenario come quello finanziario, comporta delle problematiche importanti, come la possibilità di ottenere, ad un tempo t, dei prezzi negativi, nonostante il punto di partenza venga scelto estremamente elevato. Inoltre, il moto Browniano, nella sua forma additiva, risulta inadeguato a modellare tassi di incremento, che di per sé necessitano di un modello moltiplicativo, essendo definiti come:

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R è detto tasso di incremento o return. Si può quindi considerare un modello additivo per esprimere l’incremento dei prezzi, ricavandone la successiva equazione differenziale, riportate entrambe qui di seguito:

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Essendo il differenziale un prodotto, la derivazione della distribuzione degli incrementi non è più immediata come nel caso di una somma di normali. In questo contesto, vengono in aiuto le proprietà dei logaritmi. Usando questa trasformazione è possibile infatti esprimere un prodotto come una sommatoria. L’equazione differenziale, dopo la trasformazione logaritmica, risulterà quindi essere:

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Si ottiene quindi nuovamente una somma di normali. In questo modo è possibile agilmente verificare che si distribuisce come una normale, di conseguenza P avrà distribuzione log-normale. In questo modo vengono meno tutti i problemi inizialmente elencati, poiché non potrà assumere valori negativi e potrà modellare relazioni moltiplicative e non solo additive, ampliando gli scenari finanziari studiabili attraverso il moto Browniano. Concludendo, in maniera intuitiva, il moto Browniano geometrico serve per situazioni in cui non è tanto il valore stesso ad avere una distribuzione casuale, quanto i suoi incrementi, ed in cui i valori che possono essere assunti sono strettamente positivi. Un esempio concreto potrebbe essere il valore di una moneta ad un dato tempo rapportata al valore di una moneta ad un tempo precedente preso come riferimento (l’indice dei prezzi al consumo). In questo caso la moneta tenderà ad aumentare di valore nel corso del tempo, a causa dell’inflazione, aumentando di una percentuale ogni anno e causandone una sorta di aumento esponenziale. Inoltre il valore dovrà essere strettamente positivo poiché, anche se gli incrementi possono avere segno negativo (si parla in questo caso di decrementi), la moneta dovrà mantenere un valore strettamente maggiore di 0.