Shoot for the Stats

In finanza l’incertezza gioca un ruolo chiave e la capacità di modellare questa e di saperla in qualche modo prevedere è un fattore fondamentale quando si operano investimenti. Per molti strumenti finanziari, soprattutto quelli relativi alle materie prima (commodities), la fluttuazioni del prezzo attorno ad un valore di equilibrio non riesce ad essere modellato da un moto Browniano. Questo infatti presenta un a varianza troppo elevata, non implicando che la variazione delle fluttuazioni porti i valori ad essere troppo distanti (in maniera inverosimile) dai prezzi di equilibrio. Nasce da questo limite i cosiddetti modelli mean reversion. La mean reversion è una notissima strategia di trading usata soprattutto nel mercato azionario ma applicabile anche ad altri mercati finanziarii. L’idea di fondo si basa appunto sul fatto che il prezzo massimo e il prezzo minimo di un titolo siano temporanei, e che esso tenderà invece ad avere un prezzo di equilibrio nel tempo. Essa si applica dapprima identificando l’intervallo di trading dell’azione e poi calcolando il prezzo medio usando tecniche analitiche. L’idea di fondo è che quando il prezzo dell’azione nel mercato attuale è inferiore a tale prezzo medio, il titolo è considerato attraente per l’acquisto, poiché ci si aspetta che il prezzo salga. Quando, viceversa, il prezzo attuale del mercato è superiore al prezzo medio dell’azione, ci si aspetta che il prezzo del titolo cali: in altre parole, ci si attende che le deviazioni dal prezzo medio riportino il prezzo all’equilibrio.

In questo scenario, il modello più semplice è il processo di Ornstein-Uhlenbeck. Il processo di Ornstein-Uhlenbeck è un processo stocastico originariamente sviluppato per modellare la velocità di una particella Browniana sottoposta ad un determinato attrito, trovando poi applicazione, appunto, nella matematica finanziaria. Può essere visto come una variazione della random walk in tempo continuo (o del processo di Wiener), dove le proprietà del processo sono cambiate in maniera tale che la camminata aleatoria tenderà a tornare verso un valore centrale di equilibrio, con un attrazione maggiore all’aumentare dalla distanza dal punto di equilibrio.

Il processo è definito dalla seguente equazione stocastica differenziale:

dove rappresenta la reversion speed, ovvero la velocità (o intensità) con cui il processo tenderà al punto di equilibrio, che risulta essere pari a 0, è il valore del processo di Ornstein-Uhlenbeck al tempo t e è il processo di Wiener. Maggiore sarà quindi la distanza del valore dallo 0, più forte sarà la tendenza a tornare verso l’equilibrio.

Da questo processo è possibile ricavare in maniera immediata il modello di Vasicek, aggiungendo una costante come valore di equilibrio al quale il processo tenderà, trasformando l’equazione precedente come segue:

Il modello Vasicek è un modello matematico che descrive, in finanza, l’evoluzione dei tassi di interesse. È un tipo di modello ad un fattore a tasso breve, in quanto descrive le variazioni dei tassi di interessi come causati da una sola fonte di rischio di mercato. Questo modello può essere utilizzato nella valutazione dei derivati sui tassi di interesse. È stato il primo modello a catturare l’inversione media, una caratteristica essenziale del tasso di interesse che lo distingue dagli altri prezzi finanziari. A differenza dei prezzi delle azioni, ad esempio, i tassi di interesse non possono aumentare indefinitamente. Questo perché a livelli molto alti ostacolerebbero l’attività economica, provocando una riduzione dei tassi di interesse. Di conseguenza, la variazione dei tassi di interesse avviene in un intervallo limitato e, solitamente, tendono a tornare ad un valore di equilibrio a lungo termine.