Shoot for the Stats

Un processo aleatorio (o processo stocastico) è un insieme ordinato di funzioni reali di un certo parametro (in genere il tempo) che gode di determinate proprietà statistiche. In generale è possibile identificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di variabili casuali reali  rappresentanti le trasformazioni dello stato iniziale nello stato al tempo  . In breve, un processo aleatorio è una successioni di variabili aleatorie, determinate da una stessa distribuzione di fondo, che, indicizzati da un parametro, permetto di modellare una successione di valori a partire da un valore iniziale. In ambito finanziario, permettono di modellare valori legati ai valori stessi in momenti precedenti, come l’andamento dei prezzi, le quotazioni in borsa, lo spread e così via.

Da un punto di vista astratto, qualsiasi strumento finanziario si può considerare come una traiettoria nel tempo, ovvero come un processo stocastico parametrizzato rispetto al tempo e che, in un certo istante t, assume un certo valore che può essere, ad esempio, il prezzo di quello stesso strumento al tempo   (ovviamente,   è una variabile aleatoria). In generale, i processi stocastici si suddividono in processi continui o processi discreti a seconda della natura di  .

In questo contesto, la random walk è un particolare tipo di processo aleatorio, che descrive un percorso dove gli spostamenti sono regolati da una legge probabilistica ben precisa. Nella passeggiata aleatoria monodimensionale, la probabilità di uno spostamento a destra è infatti associato ad una probabilità p (propria del fenomeno che si sta studiando), e analogamente la probabilità di uno spostamento a sinistra è associato ad una probabilità pari a (1-p). Ogni passo è di lunghezza uguale e indipendente agli altri. Si può subito notare che la previsione del valore della passeggiata aleatoria ad un determinato tempo   dipenderà esclusivamente dall’ultimo valore noto assunto dalla passeggiata aleatoria.

Spostandosi in ambito finanziario, questo processo può essere utilizzato, ad esempio, per studiare l’andamento delle quotazioni in borsa, anche se altri processi aleatori (come il moto Browniano, che è simile alla passeggiata aleatoria, me ne complica notevolmente le caratteristiche) sono più adeguati allo scopo.