Teorema funzionale del limite centrale

matteos43

Il teorema del limite centrale funzionale, detto anche teorema di Donsker, è un’estensione funzionale del classico teorema del limite centrale (TLC). Il teorema del limite centrale è uno dei teoremi più importanti della teoria delle probabilità. In verità esso costituisce una classe di teoremi, di cui una delle formulazioni più note è la seguente:

Sia X_j una delle n variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, e siano E[X_j] = \mu e Var[X_j] = \sigma^2 \ \forall j, con 0 < \sigma^2 < +\infty.

Posto Y_n = \frac{\sum_{ j = 1}^n X_j - n \mu}{\sigma \sqrt{n}} allora Y_n presenterà una distribuzione normale standard.

In altre parole, dato un numero sufficiente (solitamente almeno 25 o 30) di osservazioni indipendenti generate da una stessa variabile aleatoria, se si considera la standardizzazione della somma di queste variabili, ovvero si toglie, dalla somma, n volte la media teorica e si divide per la deviazione standard teorica diviso la radice della numerosità campionaria, questa si distribuirà come una normale standard.

Il teorema di Donsker, in maniera simile, estende i risultati del limite centrale. Consideriamo infatti una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite X_1, x_2, X_3,... e supponiamo, per comodità, che abbiano media 0 e varianza unitaria. Sia S_n una random walk definita come S_n = \sum_{i = 1}^{n} X_i Definiamo ora la random walk diffusa riscalata, definita da:

W^{(n)}(t) = \frac{S_{\lfloor n t \rfloor}}{\sqrt{n}}, \hspace{3ex} t \in [0,1]

Il TLC afferma che W^{(n)}(1) converge in distribuzione ad una normale standard. Il teorema di Donsker estende questo risultato, con il principio di invarianza, a tutta la funzione W^{(n)}, dimostrando che essa si distribuisce come un moto Browniano standard per n che tende ad infinito.

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