
Il teorema del limite centrale funzionale, detto anche teorema di Donsker, è un’estensione funzionale del classico teorema del limite centrale (TLC). Il teorema del limite centrale è uno dei teoremi più importanti della teoria delle probabilità. In verità esso costituisce una classe di teoremi, di cui una delle formulazioni più note è la seguente:
Sia una delle
variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, e siano e con .
Posto allora presenterà una distribuzione normale standard.
In altre parole, dato un numero sufficiente (solitamente almeno 25 o 30) di osservazioni indipendenti generate da una stessa variabile aleatoria, se si considera la standardizzazione della somma di queste variabili, ovvero si toglie, dalla somma, n volte la media teorica e si divide per la deviazione standard teorica diviso la radice della numerosità campionaria, questa si distribuirà come una normale standard.
Il teorema di Donsker, in maniera simile, estende i risultati del limite centrale. Consideriamo infatti una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite e supponiamo, per comodità, che abbiano media 0 e varianza unitaria. Sia una random walk definita come Definiamo ora la random walk diffusa riscalata, definita da:
Il TLC afferma che converge in distribuzione ad una normale standard. Il teorema di Donsker estende questo risultato, con il principio di invarianza, a tutta la funzione , dimostrando che essa si distribuisce come un moto Browniano standard per n che tende ad infinito.








